卡尔·弗里德里希·高斯

卡尔·弗里德里希·高斯(C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23),生于不伦瑞克,卒于哥廷根,德国数学家、物理学家和天文学家,大地测量学家。近代数学奠基者之一,在历史上影响之大, 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称。

卡尔·弗里德里希·高斯 - 介绍

高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)(1777年4月30日—1855年2月23日),生于不伦瑞克,卒于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家,并有数学王子的美誉。
1792年,15岁德高斯进入Braunschweig学院。在那里,高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。

1795年高斯进入哥廷根大学。1796年,17岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。1855年2月23日清晨,高斯于睡梦中去世。

对自然数的迷恋

数论是最古老的数学分支之一,主要研究自然数的性质和相互关系。从毕达哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系之中,优美、简洁、智慧是这门科学的特点。就像其他数学神童一样,高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年谈到:“任何一个花过一点功夫研习数论的人,必然会感受到一种特别的激情与狂热。”现代数学后一个“百事通”——大卫·希尔伯特的传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时指出:“数学没有一个领域能够象数论那样,以它的美——一种不可抗拒的力量,吸引着数学家中的精华。”画家瓦西里·康定斯基也认为:“数是各类艺术最终的抽象表现。”我注意到一些不曾研究过数论的伟大数学家,如帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹,他们都把后半生的精力奉献给了哲学或宗教,唯独费尔马、欧拉和高斯这三位对数论有着杰出贡献的数学家,却终其一生都不需要任何哲学和宗教,因为他们心中已经有了最纯粹、最本质的艺术——数论。

这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事来说明数论学者与自然数的“情谊”,这位泰戈尔的同胞来自印度最南端的泰米尔纳德邦,是个贫穷的办事员,从没有受过高等教育,但他具有快速并且深刻地看出复杂的数的关系的惊人才华。著名的英国数学家G·H·哈代在1913年“发现”了他,并于次年把他邀请到英国,入剑桥大学。哈代有一次去探望病中的拉曼纽扬时对他讲,自己刚才乘坐的出租汽车车号1729似乎没有什么意义,但愿它不是一个不祥的预兆。拉曼纽扬却回答:“不,这是一个很有意思的数,1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和的最小的数(既等于1的三次方加上12的三次方,又等于9的三次方加上10的三次方)。哈代又问,那么对于四次方来说,这个最小数是多少呢?拉曼纽扬想了想,回答说:“这个数很大,答案是635318657。”(既等于5的四次方加上158的四次方,又等于133的四次方加上134的四次方)

多才多艺

高斯不仅是数学家,还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。在《算术研究》问世的同一年,即1801年的元旦,一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座(A r ie s)附近有光度八等的星移动,这颗现在被称作谷神星(C e re s)的小行星在天空出现了41天,扫过八度角之后,就在太阳的光芒下没了踪影。当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星,这个问题很快成了学术界关注的焦点,甚至成了哲学问题。黑格尔就曾写文章嘲讽天文学家说,不必那么热衷去找寻第八颗行星,他认为用他的逻辑方法可以证明太阳系的行星,不多不少正好是七颗。高斯也对这颗星着了迷,他利用天文学家提供的观测资料,不慌不忙地算出了它的轨迹。不管黑格尔有多么不高兴,几个月以后,这颗最早发现迄今仍是最大的小行星准时出现在高斯指定的位置上。自那以后,行星、大行星(海王星和冥王星)接二连三地被发现了。

在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线电报,这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外,高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。即使是数学方面,我们谈到的也只是他年轻时候在数论领域里所做的一小部分工作,在他漫长的一生中,他几乎在数学的每个领域都有开创性的工作。例如,在他发表了《曲面论上的一般研究》之后大约一个世纪,爱因斯坦评论说:“高斯对于近代物理学的发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献(指曲面论),其重要性是超越一切,无与伦比的。”

卡尔·弗里德里希·高斯 - 生平

高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿,虽然十分聪明,但却没有接受过教育,近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前,她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁,工头,商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债帐目的事情,已经成为一个轶事流传至今。他曾说,他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算,是上帝赐予他一生的天赋。父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉,甚至有些过份,常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。高斯尊重他的父亲,并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。

在成长过程中,幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅:高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希(Friederich)。弗利德里希富有智慧,为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利,因此他就把一部分精力花在这位小天才身上,用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后,已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切,深感对他成才之重要,他想到舅舅多产的思想,不无伤感地说,舅舅去世使"我们失去了一位天才"。正是由于弗利德里希慧眼识英才,经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展,才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
在数学史上,很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到34岁才出嫁,生下高斯时已有35岁了。他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。高斯一生下来,就对一切现象和事物十分好奇,而且决心弄个水落石出,这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时,他总是支持高斯,坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。

罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业,对高斯的才华极为珍视。然而,他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年,尽管他已做出了许多伟大的数学成就,但她仍向数学界的朋友W.波尔约(W.Bolyai,非欧几何创立者之一J.波尔约之父)问道:高斯将来会有出息吗?W.波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家",为此她激动得热泪盈眶。

7岁那年,高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁,他进入了学习数学的班次,这是一个首次创办的班,孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳(Buttner),他对高斯的成长也起了一定作用。

高斯的计算能力,更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力,使布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯,说:"你已经超过了我,我没有什么东西可以教你了。"接着,高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊,直到巴特尔斯逝世。他们一起学习,互相帮助,高斯由此开始了真正的数学研究。

1788年,11岁的高斯进入了文科学校,他在新的学校里,所有的功课都极好,特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐,布伦兹维克公爵费迪南召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情,公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人,让他继续学习。布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此,这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式,表明在科学研究社会化以前,私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。

1792年,高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年,公爵又为他支付各种费用,送他入德国著名的哥丁根大家,这样就使得高斯得以按照自己的理想,勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年,高斯完成了博士论文,回到家乡布伦兹维克,正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利通过了,已被授予博士学位,同时获得了讲师职位,但他没有能成功地吸引学生,因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用,送给他一幢公寓,又为他印刷了《算术研究》,使该书得以在1801年问世;还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切,令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中,写下了情真意切的献词:"献给大公","你的仁慈,将我从所有烦恼中解放出来,使我能从事这种独特的研究"。

1806年,公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡,这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝,长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据,德国处于法军奴役下的不幸,以及第一个妻子的逝世,这一切使得高斯有些心灰意冷,但他是位刚强的汉子,从不向他人透露自己的窘况,也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中,突然插入了一段细微的铅笔字:"对我来说,死去也比这样的生活更好受些。"

为了不使德国失去最伟大的天才,德国著名学者洪堡(B.A.Von Humboldt)联合其他学者和政界人物,为高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授,以及哥丁根天文台台长的职位。1807年,高斯赴哥丁根就职,全家迁居于此。从这时起,除了一次到柏林去参加科学会议以外,他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力,不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境,高斯本人可以充分发挥其天才,而且为哥丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时,这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。

高斯有"数学王子"、"数学家之王"的美称、被认为是人类有史以来"最伟大的四位数学家之一"(阿基米德、牛顿、高斯、欧拉)。人们还称赞高斯是"人类的骄傲"。天才、早熟、高产、创造力不衰、……,人类智力领域的几乎所有褒奖之词,对于高斯都不过份。

高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明了最小二乘法原理。十分注重数学的应用,并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

高斯开辟了许多新的数学领域,从最抽象的代数数论到内蕴几何学,都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面,他都是18─19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭,那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯;如果把19世纪的数学家想象为一条条江河,那么其源头就是高斯。

他幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时发现了二项式定理,17岁时发明了二次互反律,18岁时发明了正十七边形的尺规作图法,解决了两千多年来悬而未决的难题,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来。他发现了质数分布定理、算术平均、几何平均。21岁大学毕业,22岁时获博士学位。1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世,一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台长。 在成长过程中。幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠,30岁那年死于肺结核,留下了两个孩子:高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧,为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利,因此他就把一部分精力花在这位小天才身上,用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后,已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切,深感对他成才之重要,他想到舅舅多产的思想,不无伤感地说,舅舅去世使“我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才,经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展,才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。 
在数学史上,很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到34岁才出嫁,生下高斯时已有35岁了。他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。高斯一生下来,就对一切现象和事物十分好奇,而且决心弄个水落石出,这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时,他总是支持高斯,坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。 
罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业,对高斯的才华极为珍视。然而,他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年,尽管他已做出了许多伟大的数学成就,但她仍向数学界的朋友W.波尔约问道:高斯将来会有出息吗?W.波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家”,为此她激动得热泪盈眶。 
7岁那年,高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁,他进入了学习数学的班次,这是一个首次创办的班,孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳,他对高斯的成长也起了一定作用。 
当然,这也是一个等差数列的求和问题。当布特纳刚一写完时,高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E?T?贝尔写道,高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事,说当时只有他写的答案是正确的,而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过,他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为,高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子,能独立发现这一数学方法实属很不平常。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实,应该是比较可信的。而且,这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。 
高斯的计算能力,更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力,使布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯,说:“你已经超过了我,我没有什么东西可以教你了。”接着,高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊,直到巴特尔斯逝世。他们一起学习,互相帮助,高斯由此开始了真正的数学研究。 
1788年,11岁的高斯进入了文科学校,他在新的学校里,所有的功课都极好,特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐,布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情,公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人,让他继续学习。 布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此,这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式,表明在科学研究社会化以前,私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。 
1792年,高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年,公爵又为他支付各种费用,送他入德国著名的哥丁根大学,这样就使得高斯得以按照自己的理想,勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年,高斯完成了博士论文,回到家乡布伦兹维克,正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时----虽然他的博士论文顺利通过了,已被授予博士学位,同时获得了讲师职位,但他没有能成功地吸引学生,因此只能回老家,又是公爵伸手救援他。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用,送给他一幢公寓,又为他印刷了《算术研究》,使该书得以在1801年问世;还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切,令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中,写下了情真意切的献词:“献给大公”,“你的仁慈,将我从所有烦恼中解放出来,使我能从事这种独特的研究”。 
 1806年,公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡,这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝,长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据,德国处于法军奴役下的不幸,以及第一个妻子的逝世,这一切使得高斯有些心灰意冷,但他是位刚强的汉子,从不向他人透露自己的窘况,也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中,突然插入了一段细微的铅笔字:“对我来说,死去也比这样的生活更好受些。” 
慷慨、仁慈的资助人去世了,因此高斯必须找一份合适的工作,以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作,他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他,自从1783年欧拉去世后,欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国,他甚至愿意给高斯增加薪金,为他建立天文台。现在,高斯又在他的生活中面临着新的选择。
高斯的研究领域,遍及纯粹数学和应用数学的各个领域,并且开辟了许多新的数学领域,从最抽象的代数数论到内蕴几何学,都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面,他都是18----19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭,那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯;如果把19世纪的数学家想象为一条条江河,那么其源头就是高斯。 
虽然数学研究、科学工作在18世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业,但高斯依然生逢其时,因为在他快步入而立之年之际,欧洲资本主义的发展,使各国政府都开始重视科学研究。随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视,俄国的沙皇以及欧洲的许多君主也开始对科学家、科学研究刮目相看,科学研究的社会化进程不断加快,科学的地位不断提高。作为当时最伟大的科学家,高斯获得了不少的荣誉,许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师。 

1802年,高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授;1877年,丹麦政府任命他为科学顾问,这一年,德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。 

高斯的一生,是典型的学者的一生。他始终保持着农家的俭朴,使人难以想象他是一位大教授,世界上最伟大的数学家。他先后结过两次婚,几个孩子曾使他颇为恼火。不过,这些对他的科学创造影响不太大。在获得崇高声誉、德国数学开始主宰世界之时,一代天骄走完了生命旅程。

在处理相片的软件 photoshop 中,有一种菜单叫高斯模糊,这种功能对模糊一些不必要的地方很有作用。高斯生於Brunswick,位於现在德国中北部。他的祖父是农民,父亲是泥水匠,母亲是一个石匠的女儿,有一个很聪明的弟弟,高斯这位舅舅,对小高斯很照顾,偶尔会给他一些指导,而父亲可以说是一名大老粗,认为只有力气能挣钱,学问这种劳什子对穷人是没有用的。  

高斯很早就展现过人才华,三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学,在破旧的教室里上课,老师对学生并不好,常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时,老师考了那道著名的「从一加到一百」,终於发现了高斯的才华,他知道自己的能力不足以教高斯,就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时,高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟,而Bartels的能力也比老师高得多,後来成为大学教授,他教了高斯更多更深的数学。  

老师和助教去拜访高斯的父亲,要他让高斯接受更高的教育,但高斯的父亲认为儿子应该像他一样,作个泥水,而且也没有钱让高斯继续读书,最後的结论是--去找有钱有势的人当高斯的赞助人,虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问,高斯免除了每天晚上织布的工作,每天和Bartels讨论数学,但不久之後,Bartels也没有什麽东西可以教高斯了。  1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业後就要他不必再上数学课,而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。  

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明,可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来,然後提出自己的见解,他一生中一共给出了四个不同的证明。  

在1801年,高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae),这本书以拉丁文写成,原来有八章,由於钱不够,只好印七章。 这本书除了第七章介绍代数基本定理外,其余都是数论,可以说是数论第一本有系统的着作,高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。  二十四岁开始,高斯放弃在纯数学的研究,作了几年天文学的研究。  

当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已,认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年,意大利的天文学家Piazzi,发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为「谷神星」。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个,但当时天文学界争论不休,有人说这是行星,有人说这是彗星。必须继续观察才能判决,但是Piazzi只能观察到它9度的轨道,再来,它便隐身到太阳後面去了。因此无法知道它的轨道,也无法判定它是行星或彗星。  

高斯这时对这个问是产生兴趣,他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察,就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然,谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法--虽然他当时没有公布--就是「最小平方法」(Method of Least Square)。  
1802年,他又准确预测了小行星二号--智神星的位置,这时他的声名远播,荣誉滚滚而来,俄国圣彼得堡科学院选他为会员,发现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任,他没有立刻答应,到了1807年才前往哥廷根就任。  

1809年他写了《天体运动理论》二册,第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道,第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前,但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作,他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程,他考虑无穷级数,并研究级数的收敛问题,在1812年,他研究了超几何级数,并且把研究结果写成专题论文,呈给哥廷根皇家科学院。  

1820到1830年间,高斯为了测绘汗诺华公国的地图,开始做测地的工作,他写了关於测地学的书,由於测地上的需要,他发明了日观测仪。为了要对地球表面作研究,他开始对一些曲面的几何性质作研究。  

1827年他发表了《曲面的一般研究》,涵盖一部分现在大学念的「微分几何」  

在1830到1840年间,高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家-韦伯(Withelm Weber) 一起从事磁的研究,他们的合作是很理想的:韦伯作实验,高斯研究理论,韦伯引起高斯对物理问题的兴趣,而高斯用数学工具处理物理问题,影响韦伯的思考工作方法。  

1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线,跨过许多人家的屋顶,一直到韦伯的实验室,以伏特电池为电源,构造了世界第一个电报机。  高斯对自己的工作态度是精益求精,非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说:宁可发表少,但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他,不要太认真,把结果写出来发表,这对数学的发展是很有帮助的。其中一个有名的例子是关於非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人,高斯、 罗巴切乌斯基,波埃伊。其中Bolyai的父亲是高斯大学的同学,他曾想试着证明平行公理,虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究,小Bolyai还是沉溺於平行公理。最後发展出了非欧几何,并且在1832~1833年发表了研究结果,老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯,想不到高斯却回信道:  
to preise it would mean to praise myself. 我无法夸赞他,因为夸赞他就等於夸奖我自己。 早在几十年前,高斯就已经得到了相同的结果,只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。美国的着名数学家贝尔,在他着的《数学工作者》一书里曾经这样批评高斯:在高斯死後,人们才知道他早就预见一些十九世的数学,而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏,很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作,而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者,可以把他们的天才用到其他方面去。

卡尔·弗里德里希·高斯 - 研究领域

高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明了最小二乘法原理。高理的数论研究 总结 在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典着作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文,他对待学问十分严谨,只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦,有一个后来被证认为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近,天文学家虽然有40天的时间可以观察它,但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法,而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法(一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用,只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星”智神星”方面也获得类似的成功。1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦,有一个后来被证认为小行星并被命名为‘谷神星’的天体被发现当时它好像在向太阳靠近,天文学家虽然有40天的时间可以观察它,但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法,而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法(一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。在小行星‘智神星’方面也获得类似的成功。他的方法今天仍在使用,只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。

高理的数论研究 总结 在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典著作之一。这本书除了第七章介绍代数基本定理外,其余都是数论,可以说是数论第一本有系统的著作,高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明,可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来,然後提出自己的见解,他一生中一共给出了四个不同的证明。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来。

1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。
他的《天体运动理论》二册,第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道,第二册他展示了如何估计行星的轨道。为了用积分解天体运动的微分力程,他考虑无穷级数,并研究级数的收敛问题,在1812年,他研究了超几何级数,并且把研究结果写成专题论文,呈给哥廷根皇家科学院。

1820到1830年间,高斯为了测绘汗诺华公国的地图,开始做测地的工作,他写了关於测地学的书,由於测地上的需要,他发明了日观测仪。为了要对地球表面作研究,他开始对一些曲面的几何性质作研究。

高斯和韦伯(Withelm Weber) 一起从事磁的研究,他们的合作是很理想的:韦伯作实验,高斯研究理论,韦伯引起高斯对物理问题的兴趣,而高斯用数学工具处理物理问题,影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源,构造了世界第一个电报机,设立磁观测站,写了《地磁的一般理论》,和韦伯画出了世界第一张地球磁场图,而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。他的著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

在他死后,人们才知道他早就预见一些十九世的数学,而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏,很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。

高斯的老师Bruettner与他助手 Martin Bartels 很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋,同时Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也对这个天才儿童留下了深刻印象。于是他们从高斯14岁其便资助其学习与生活。这也使高斯能够在公元1792-1795年在Carolinum学院(今天Braunschweig学院的前身)学习。18岁时,高斯转入哥廷根大学学习。在他19岁时,第一个成功的用尺规构造出了规则的17角形。
高斯于公元1805年10月5日与来自Braunschweig的Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小姐(1780-1809)结婚。在

公元1806年8月21日迎来了他生命中的第一个孩子约瑟。此后,他又有两个孩子。Wilhelmine(1809-1840)和Louis(1809-1810)。1807年高斯成为哥廷根大学的教授和当地天文台的台长。虽然高斯作为一个数学家而闻名于世,但这并不意味着他热爱教书。尽管如此,他越来越多的学生成为有影响的数学家,如后来闻名于世的Richard Dedekind和黎曼。

高斯墓地高斯非常信教且保守。他的父亲死于1808年4月14日,晚些时候的1809年10月11日,他的第一位妻子Johanna也离开人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831)。他们又有三个孩子:Eugen (1811-1896), Wilhelm (1813-1883) 和 Therese (1816-1864)。 1831年9月12日她的第二位妻子也死去,1837年高斯开始学习俄语。1839年4月18日,他的母亲在哥廷根逝世,享年95岁。高斯于1855年2月23日凌晨1点在哥廷根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记中的发现于1898年被发现。

卡尔·弗里德里希·高斯 - 研究贡献



18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后,可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上,高斯随后专注于曲面与曲线的计算,并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布),并在概率计算中大量使用。

在高斯19岁时,仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。

高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下,结算出天体的运行轨迹。并用这种方法,发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现,但他因病耽误了观测,失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”(Ceres)来命名它,即谷神星(Planetoiden Ceres),并将以前观测的位置发表出来,希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前的三次观测数据,计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。

高斯设计的汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中复活节的日期,高斯推导了复活节日期的计算公式。

在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。出于对实际应用的兴趣,他发明了日光反射仪,可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进,试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。

高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晚计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些论文中,推导了由椭圆面向圆球面投影时的公式,并作出了详细证明,这套理论在今天仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到1848年才结束,这项大地测量史上的巨大工程,如果没有高斯在理论上的仔细推敲,在观测上力图合理精确,在数据处理上尽量周密细致的出色表现,就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地控制网,精确地确定2578个三角点的大地坐标,可以说是一项了不起的成就。

日光反射仪由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题,高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论,这成了微分几何的重要基础。他独自提出不能证明欧氏几何的平行公设具有‘物理的’必然性,至少不能用人类理智,也不能给予人类理智以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表,也许是因为对处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来相对论证明了宇宙空间实际上是非欧几何的空间,高斯的思想被近100年后的物理学接受了。当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量Harz的Brocken--Thuringer Wald的Inselsberg--哥廷根的Hohen Hagen三个山头所构成的三角形的内角和,以验证非欧几何的正确性,但未成功。高斯的朋友鲍耶的儿子雅诺斯在1823年证明了非欧几何的存在,高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年,罗巴切夫斯基又用德文写了《平行线理论的几何研究》一文。这篇论文发表后,引起了高斯的注意,他非常重视这一论证,积极建议哥廷根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作,从这一年开始,63岁的高斯开始学习俄语,并最终掌握了这门外语。最终高斯成为和微分几何的始祖(高斯,雅诺斯、罗巴切夫斯基)中最重要的一人。

高斯和韦伯19世纪的30年代,高斯发明了磁强计,辞去了天文台的工作,而转向物理研究。他与韦伯(1804-1891)在电磁学的领域共同工作。他比韦伯年长27岁,以亦师亦友的身份进行合作。1833年,通过受电磁影响的罗盘指针,他向韦伯发送了电报。这不仅仅是从韦伯的实验室与天文台之间的第一个电话电报系统,也是世界首创。尽管线路才8千米长。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图,而且定出了地球磁南极和磁北极的位置,并于次年得到美国科学家的证实。

高斯和韦伯共同设计的电报高斯研究数个领域,但只将他思想中成熟的理论发表。他经常提醒他的同事,该同事的结论已经被自己很早的证明,只是因为基础理论的不完备性而没有发表。批评者说他这样是因为极爱出风头。实际上高斯只是一部疯狂的打字机,将他的结果都记录起来。在他死后,有20部这样的笔记被发现,才证明高斯的宣称是事实。一般认为,即使这20部笔记,也不是高斯全部的笔记。下萨克森州和哥廷根大学图书馆已经将高斯的全部著作数字化并置于互联网上。

高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上。

卡尔·弗里德里希·高斯 - 求学经历

希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正2m×3n×5p边形,其中m是正整数,而n和p只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法,两千年来都没有人知道。而高斯证明了:

一个正n边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一:

1、n=2k,k=2, 3,...

2、n=2k×(几个不同“费马质数”的乘积),k=0,1,2,...

费马质数是形如Fk= 22k的质数。像F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来。

1799年高斯提出了他的博士论文,这论文证明了代数一个重要的定理:

任意一个多项式都有(复数)根。这结果称为“代数学基本定理”(Fundamental Theorem of Algebra)。

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明,可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来,然后提出自己的见解,他一生中一共给出了四个不同的证明。

在1801年,高斯二十四岁时出版了《算学研究》 (Disquesitiones Arithmeticae),这本书以拉丁文写成,原来有八章,由于钱不够,只好印七章。

这本书除了第七章介绍代数基本定理外,其余都是数论,可以说是数论第一本有系统的着作,高斯第一次介绍“同余”(Congruent)的概念。“二次互逆定理”也在其中。

二十四岁开始,高斯放弃在纯数学的研究,作了几年天文学的研究。

当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已,认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年,意大利的天文学家Piazzi,发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为“谷神星”(Cere)。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个,但当时天文学界争论不休,有人说这是行星,有人说这是彗星。必须继续观察才能判决,但是Piazzi只能观察到它9度的轨道,再来,它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道,也无法判定它是行星或彗星。

高斯这时对这个问是产生兴趣,他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察,就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然,谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法——虽然他当时没有公布——就是“最小平方法”(Method of Least Square)。

1802年,他又准确预测了小行星二号——智神星(Pallas)的位置,这时他的声名远播,荣誉滚滚而来,俄国圣彼得堡科学院选他为会员,发现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任,他没有立刻答应,到了1807年才前往哥廷根就任。

1809年他写了《天体运动理论》二册,第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道,第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前,但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作,他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程,他考虑无穷级数,并研究级数的收敛问题,在1812年,他研究了超几何级数(HypergeometricSeries),并且把研究结果写成专题论文,呈给哥廷根皇家科学院。

1820到1830年间,高斯为了测绘汉诺威(Hanover)公国(高斯住的地方)的地图,开始做测地的工作,他写了关于测地学的书,由於测地上的需要,他发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究,他开始对一些曲面的几何性质作研究。

1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficiescurva),涵盖一部分现在大学念的“微分几何”。

在1830到1840年间,高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家-韦伯(WithelmWeber)一起从事磁的研究,他们的合作是很理想的:韦伯作实验,高斯研究理论,韦伯引起高斯对物理问题的兴趣,而高斯用数学工具处理物理问题,影响韦伯的思考工作方法。

1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线,跨过许多人家的屋顶,一直到韦伯的实验室,以伏特电池为电源,构造了世界第一个电报机。

1835年高斯在天文台里设立磁观测站,并且组织“磁协会”发表研究结果,引起世界广大地区对地磁作研究和测量。

高斯已经得到了地磁的准确理,他为了要获得实验数据的证明,他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。

1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图,而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。1841年美国科学家证实了高斯的理论,找到了磁南极和磁北极的确实位置。

高斯对自己的工作态度是精益求精,非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说:“宁可发表少,但发表的东西是成熟的成果。”许多当代的数学家要求他,不要太认真,把结果写出来发表,这对数学的发展是很有帮助的。

其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人,高斯、罗巴切乌斯基(Lobatchevsky,1793~1856),波埃伊(Bolyai,1802~1860)。其中波埃伊的父亲是高斯大学的同学,他曾想试着证明平行公理,虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究,小波埃伊还是沉溺於平行公理。最后发展出了非欧几何,并且在1832~1833年发表了研究结果,老波埃伊把儿子的成果寄给老同学高斯,想不到高斯却回信道:我无法夸赞他,因为夸赞他就等于夸奖我自己。

早在几十年前,高斯就已经得到了相同的结果,只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。

美国的着名数学家贝尔(E.T.Bell),在他着的《数学工作者》 (Men of Mathematics)一书里曾经这样批评高斯:在高斯死后,人们才知道他早就预见一些十九世的数学,而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏,很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(Abel)和雅可比(Jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作,而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者,可以把他们的天才用到其他力面去。

卡尔·弗里德里希·高斯 - 著作

1799年:关于代数基本定理的博士论文(Doktorarbeit uber den Fundamentalsatz der Algebra )
1801年:代数论(Disquisitiones Arithmeticae )
1809年:天体运动论(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )
1827:曲面的一般研究(Disquisitiones generales circa superficies curvas)
1843/44年:高等大地测量学理论(上)(Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 1 )
1846/47年:高等大地测量学理论(下)(Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 2 )

卡尔·弗里德里希·高斯 - 逸闻趣事

高斯智断瓶中线

卡尔·弗里德里希·高斯(1777—1855年)是德国19世纪著名的数学家、理物学家。高斯不到20岁时,在许多学科上就已取得了不小的成就。对于高斯接二连三的成功,邻居的几个小伙子很不服气,决心要为难他一下。

小伙子们聚到一起冥思苦想,终于想出了一道难题。他们用一根细棉线系上一块银币,然后再找来一个非常薄的玻璃瓶,把银币悬空垂放在瓶中,瓶口用瓶塞塞住,棉线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后,他们小心翼翼地捧着瓶子,在大街上拦住高斯,用挑衅的口吻说道,“你一天到晚捧着书本,拿着放大镜东游西逛,一副蛮有学问的样子,你那么有本事,能不碰破瓶子,不去掉瓶塞,把瓶中的棉线弄断吗?”

高斯对他们这种无聊的挑衅很生气,本不想理他们,可当他看了瓶子后,又觉得这道难题还的确有些意思,于是认真地想着解题的办法来。繁华的大街商店林立,人流如川。在小伙子为能难倒高斯而得意之时,大街上的围观者越来越多。大家兴趣甚浓,都在想着法子,但无济于事,除了摇头自嘲之外,只好把期冀的目光投向高斯。高斯呢,眉头紧皱,一声不吭。小伙子们更得意了,他们为自己高明的难题而叫绝。有人甚至刁难道:“怎么样,你智力有限吧,实在解不出,就把你得到的那么多荣誉证书拿到大街上当众烧掉,以后别再逞能了。”

高斯的确气恼,但他仍克制住,不受围观者嘈杂吵嚷的影响而冷静思考。他无意地看了看明媚的阳光,又望了望那个瓶子,忽然高兴地叫道:“有办法了。”说着从口袋里拿出一面放大镜,对着瓶子里的棉线照着,一分钟、两分钟..人们好奇地睁大了眼,随着钱币“铛”的一声掉落瓶底,大家发现棉线被烧断了。

高斯高声说道:“我是把太阳光聚焦,让这个热度很高的焦点穿过瓶子,照射在棉线上,使棉线烧断。太阳光帮了我的忙。”

人们不由发出一阵欢呼声,那几个小伙子也佩服得连连赞叹。

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