戴维·希尔伯特

希尔伯特,德国数学家。希尔伯特于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的制高点。

 

戴维·希尔伯特 - 戴维·希尔伯特

介绍

希尔伯特,D.(Hilbert,David,1862~1943)德国数学家。
希尔伯特于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的制高点,对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。
(著名的歌德巴赫猜想也是问题之一,以陈景润为代表的中国数学家获得了重大突破,但还没有彻底解决。)
生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授,1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于是1930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间,他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。


希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有:狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出:“只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说:“在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知。”三十年后,1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中,针对一些人信奉的不可知论观点,他再次满怀信心地宣称:“我们必须知道,我们必将知道。”希尔伯特的《几何基础》(1899)是公理化思想的代表作,书中把欧几里得几何学加以整理,成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统,并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年,又着手研究数学基础问题,经过多年酝酿,于二十年代初,提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发,建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质,从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明,以便克服悖论所引起的危机,一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而,1930年,年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.G?del,1906~1978)获得了否定的结果,证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性,并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》(三卷,其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等,与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

希尔伯特23个问题及解决情况


1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中,首先他提出许多重要的思想:
正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新观点,达到更为广阔的自由的境界。

希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用,他指出:“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念,那就必须回顾一下当今科学提出的,希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出:“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

他阐述了重大问题所具有的特点,好的问题应具有以下三个特征:

清晰性和易懂性;
虽困难但又给人以希望;
意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题,即著名的“希尔伯特23个问题”。

编号 问题 推动发展的领域 解决的情况
1 连续统假设 公理化集合论 1963年,Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想,后来发展为系统的Hilbert计划(“元数学”或“证明论”)但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快(1900)即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。希尔伯特之后,许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何,在研究第四问题上取得很大进展,但问题并未完全解决。
5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力,这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决,答案是肯定的。
6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域,公理化方法已获得很大成功,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。
9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.
10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。
12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。
13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决,如要求是解析函数,则问题仍未解决。
14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。
15 Schubert记数演算的严格基础 代数几何学 由于许多数学家的努力,Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能,但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础,已由B.L.Vander Waerden(1938-40)与 A.Weil(1950)建立。
16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分,近年来不断有重要结果。
17 正定形式的平方表示式 域(实域)论 已由Artin 于1926年解决。
18 由全等多面体构造空间 结晶体群理论 部分解决。
19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。
20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人(1905)年和 H.Rohrl(德,1957)解决。
22 解析关系的单值化 Riemann 曲面体 一个变数的情形已由 P.Koebe (德,1907)解决。
23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。
详细参见希尔伯特问题。

 

希尔伯特轶事

 

1. 以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛,有些连希尔伯特本人都不知道。比如有一次希尔伯特曾问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间?”
2.1916年,埃米·诺特这位卓有才华的青年妇女来到哥廷根大学。希尔伯特对她的学识倍加欣赏,立即决定让她留下来当讲师,辅助相对论的研究工作。但当时歧视妇女的现象相当严重,希尔伯特的建议遭到语言学、历史学等教授们的强烈反对。希尔伯特拍案而起,大声疾呼:“先生们,这里是学校,不是澡堂!”于是因此激怒了他的对手,希尔伯特对此不为所动,毅然决定让诺特以自己的名义代课。

 

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